Pathwise functional calculus and applications to continuous-time finance
Calcul fonctionnel non-anticipatif et applications en finance
Résumé
This thesis develops a mathematical framework for the analysis of continuous-time trading strategies which, in contrast to the classical setting of continuous-time finance, does not rely on stochastic integrals or other probabilistic notions.Using the `non-anticipative functional calculus', we first develop a pathwise definition of the gain process for a large class of continuous-time trading strategies which includes delta-hedging strategies, as well as a pathwise definition of the self-financing condition. Using these concepts, we propose a framework for analyzing the performance and robustness of delta-hedging strategies for path-dependent derivatives across a given set of scenarios. Our setting allows for general path-dependent payoffs and does not require any probabilistic assumption on the dynamics of the underlying asset, thereby extending previous results on robustness of hedging strategies in the setting of diffusion models. We obtain a pathwise formula for the hedging error for a general path-dependent derivative and provide sufficient conditions ensuring the robustness of the delta-hedge. We show in particular that robust hedges may be obtained in a large class of continuous exponential martingale models under a vertical convexity condition on the payoff functional. We also show that discontinuities in the underlying asset always deteriorate the hedging performance. These results are applied to the case of Asian options and barrier options. The last chapter, independent of the rest of the thesis, proposes a novel method, jointly developed with Andrea Pascucci and Stefano Pagliarani, for analytical approximations in local volatility models with Lévy jumps.
Cette thèse développe une approche trajectorielle pour la modélisation des marchés financiers en temps continu, sans faire appel à des hypothèses probabilistes ou à des modèles stochastiques. À l'aide du calcul fonctionnel non-anticipatif, nous identifions une classe spéciale de stratégies de trading que nous prouvons être auto-finançantes, selon une notion trajectorielle introduite dans cette thèse, et dont le gain peut être calculé trajectoire par trajectoire comme limite de sommes de Riemann. Avec ces outils, nous proposons un cadre analytique pour analyser la performance et la robustesse de stratégies de couverture dynamique de produits dérivés path-dependent sur en ensemble de scénarios. Ce cadre ne demande aucune hypothèse probabiliste sur la dynamique du processus sous-jacent. Il généralise donc les résultats précédents sur la robustesse de stratégies de couverture dans des modèles de diffusion. Nous obtenons une formule explicite pour l'erreur de couverture dans chaque scénario et nous fournissons des conditions suffisantes qui impliquent la robustesse de la couverture delta-neutre. Nous montrons que la robustesse peut être obtenue dans un ensemble ample de modèles de prix de martingale exponentielle de carré intégrable, avec une condition de convexité verticale sur le payoff. Nous remarquons que les discontinuités de la trajectoire de prix détériorent la performance de la couverture. Le dernier chapitre, indépendant du reste de la thèse, est une étude en collaboration avec Andrea Pascucci et Stefano Pagliarani, où nous proposons une nouvelle méthode pour l'approximation analytique dans des modèles à volatilité locale avec des sauts de type Lévy.
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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