Some results around automatic sequences
Des résultats autour des suites automatiques
Résumé
In this thesis we are interested in automatic sequences, which is a notion introduced and initially studied by combinatorists, and by people working on language theory. Meanwhile these sequences also appear to have some interesting properties in number theory. In this thesis, we deal with some topics in mathematics and computer science, related to automatic sequences. In Chapter 1, we give an introduction to automatic sequences and a brief overview of recent works on related topics. In Chapter 2, we study the meromorphic continuation of Dirichlet series of type f(s)=∑x∈Nkaxp(x)s over C, where (ax)neNk is an automatic sequence of dimension k, and p is an elliptic polynomial non-vanishing overNk. And some infinite products are calculated as consequences of this result. In Chapter 3, we give a formal expression to all completely multiplicative automatic sequences. In Chapter 4, we study formal powers series defined by infinite products of type ∑n=1∞anxn=∏i=1∞p(xqi) where p is a polynomial with coefficients over Q and p(0)=1, and q is an integer larger than 1. We prove that for given integer d, there are finitely many polynomials of degree d such that the sequence defined as above is automatic. In Chapter 5, we study the palindromic length of automatic sequences and find all sequences having the same palindromic length as the one of Thue-Morse.
Cette thèse est consacrée à l'étude des propriétés des suites automatiques. Cette dernière est une notion premièrement introduite et étudiée par les mathématiciens et les informaticiens théoriciens en combinatoire, notamment en théories des langages, mais elle a aussi des applications intéressantes en théorie des nombres. Dans cette thèse, on travaille sur quatre sujets concernant les aspects mathématiques et informatiques, liés aux suites automatiques. Dans le Chapitre 1, on donne une introduction aux suites automatiques ainsi que des résultats récents autour de ce sujet. Dans le Chapitre 2, on étudie le prolongement méromorphe des séries de Dirichlet du typef(s)=∑x∈Nkaxp(x)s sur C, avec (ax)neNk une suite automatique de dimension k, et p un polynôme elliptique qui ne s'annule pas sur Nk. Et aussi, des produits infinis sont calculés comme conséquences de ce résultat. Dans le Chapitre 3, on trouve une expression explicite pour toute suite automatique complètement multiplicative. Dans le Chapitre 4, on considère les séries formelles définies par des produits infinis du type, ∑n=1∞anxn=∏i=1∞p(xqi) avec p un polynôme à coefficients dans Q et p(0)=1, et q un entier plus grand que 1. On démontre que pour q et d fixés, il n'y a qu'un nombre fini des polynômes de dégrée au plus d tel que la série infinie obtenue par la définition précédente soit q-automatique. Dans le Chapitre 5, on étudie la longueur palindromique des suites automatiques, et on trouve toute les suites ayant la même longueur palindromique que celle de Thue-Morse.
Origine : Version validée par le jury (STAR)