M. and R. , Cette contradiction clôt la preuve, et montre donc que, dans le cas où ? ? ?B R ( ?), on a bien rot(f ) ? {? ? H 1

, On suppose que 0 ? Int(rot(f )). Il n'existe alors pas sur M de lacet transverse non homologue à zéro qui s'accumule dans un chemin transverse. En particulier, si ? et ? sont deux lacets transverses tels que

, Soit donc ? et ? deux lacets transverses tels que [?]?[? ] = 0. Il en existe donc deux relevés ? et ? à dom(F) dont le nombre d'intersection est bien défini et non nul. De plus, ces deux relevés se séparent deux à deux positivement et négativement : en effet, il est impossible qu'ils soient équivalents (en +? ou en ??) en vertu de la proposition 2.2.15

, Une famille de lacets génératrice On suppose dorénavant, et ce jusqu'à la fin de ce chapitre, que 0 est dans l'intérieur de rot(f )

, Il existe un entier r ? 1 et une famille {? 1 , ..., ? r } de r lacets transverses de M non homologues à 0 tels que : -pour tout j ? {1, ..., r}, ? j est la trajectoire transverse d'un point périodique, -les, 1?j?r engendrent H 1 (M, R), p.1

.. .. {1 and .. {1, En prenant un ? suffisamment petit, on peut s'assurer que les (? j ) 1?j?r sont tous non nuls, qu'ils engendrent H 1 (M, R), et que 0 est bien dans l'intérieur de leur enveloppe convexe. Pour tout j ? {1, ..., r}, notons ? j la trajectoire transverse du point x j : c'est donc un lacet transverse d'homologie [? j ] = p j × ? j (où p j est la période du point x j ). Il est bien clair alors que pour tout j ? {1, ..., r}, [? j ] = 0, que les ([? j ]) 1?j?r engendrent H 1 (M, R), et que 0 est dans l'intérieur de l'enveloppe convexe des ([? j ]) 1?j?r . Remarque : comme nous le verrons, l'existence d'une telle famille de lacets transverses a des conséquences fortes sur la structure du feuilletage F. Cette condition est assez similaire à la condition d'existence d'un système de courbes essentielles de la définition 9 de l'introduction, Démonstration. Comme 0 ? Int(rot(f )), alors il existe une famille (e j ) 1?j?r de points extrêmaux de rot(f ) tels que les e j engendrent H 1 (M, R), et que 0 est contenu dans l'intérieur de l'enveloppe convexe des e j . Mais les e j engendrent H 1 (M, R)

;. Enfin, . Tel-que-?-?-k, and .. {1, 11 qu'un chemin transverse de grande homologie intersecte forcément F?transversalement l'un des ? j : Proposition 4.1.13. Soit r ? N * et ? 1

, Soit C l'ensemble des relevés à dom(F) des ? j , et N donné par le lemme

.. .. ?-{1, Par définition de N , et comme |? ? [? j ]| ? 2N + N + 1, il existe donc au moins 2N + 1 relevés de ? j dont le nombre d'intersection avec ? est bien défini et non nul. Maintenant, par définition de N , la feuille passant par ?(a) rencontre au plus N relevés de ? j , et de même, la feuille passant par ?(b) rencontre au plus N relevés de ? j . Parmi les 2N + 1 relevés considérés, l'un au moins ne rencontre donc pas ces deux feuilles : on a donc trouvé un relevé ? j de ? j dont le nombre d'intersection avec ? est bien défini et non nul, et qui ne rencontre pas les feuilles extrêmes de ?. De plus, M un chemin transverse tel que ? ? K : par définition de m, il existe donc j

, Subdivision des trajectoires La preuve du théorème G va reposer sur des découpages de trajectoires en des portions ayant des homologies que l'on contrôle : on veut obtenir des portions "minimales

M. ?-n-*-et-?-;-?-m-un-chemin-de, Pour tout réel K > 0, il existe une unique famille finie {n 0

. <-n-p-?-n and .. {0, p ? 1}, l'ensemble {k ? n i | ? |[n i ,k] ? K} est non vide et n i+1 = min{k ? n i | ? |

, Cette famille d'entiers est appelée K?subdivision de ?

, cas tout d'abord où il existe un entier k ? {n i , ..., n} tel que ? |[n i ,k] ? K, alors {k ? n i | ? |[n i ,k] ? K} est non vide : on définit n i+1 comme l'entier minimal de cet ensemble

, Il reste finalement à vérifier techniquement que les homologies des portions considérées sont bien

, Pour tout k ? {0, ..., m ? 1}, on a les majorations suivantes

. +-k-0,

. De-plus,

. De-même, sont des portions de ? * v(k) , donc par définition de C 2 , on a ? k|[a k ,1] ? C 2 et ? k|[2,b k ] ? C 2 . Comme ? k|[a k ,b k ] est la concaténation de ? k|

, < (3r + 1)K + r(2C 2 + 3C 1 + 9K 0 )

.. .. ?-{0, L. 1}, and . K|,

, Or, par définition des chemins (c x,y ) x,y?M , le chemin c ? k (a k ),? k (b k ) est le chemin trivial. On déduit donc que ? k|

.. .. ?-{0 and . 1},

, < 3K + 2C 2 + 3C 1 + 8K 0

, On fixe enfin une norme . H 1 sur le premier groupe de cohomologie H 1 (M, R), et on note . op la norme d'opérateur induite sur le premier groupe d'homologie H 1 (M, R) (que l'on voit toujours comme l'espace des formes linéaires sur H 1

, La première des applications du théorème G est la réponse à la conjecture de Boyland énoncée dans l'introduction comme théorème I : total, dont on note rot(µ) le vecteur de rotation, alors rot(µ) ?

, En particulier, ce théorème s'applique donc pour un homéomorphisme isotope à l'identité qui préserve l'aire : si 0 est dans l'intérieur de l'ensemble de rotation d'un tel homéomorphisme, alors c'est aussi le cas du vecteur de rotation de la mesure de Lebesgue. Ce théorème reposera sur la proposition J de l'introduction

, En particulier, toute mesure µ supportée sur

L. Finalement and . Dernier, corollaire que nous obtiendrons est un résultat analogue à cette dernière proposition pour tous les points appartenant au support d'une mesure dont le vecteur de rotation appartient à la frontière de rot(f ), notée ? (rot(f ))

. M-?-=-{µ-?-m, | rot(µ) ? ? (rot(f ))} et X ? = µ?M ? supp(µ)

, 3 la proposition K de l'introduction, dont revoici l'énoncé : Proposition 4.3.3. Il existe une constante L 1 ? R telle que pour tout z ? X ? , pour tout n ? 1

, En particulier, toute mesure ergodique µ supportée sur X ? appartient à M ?

, Mesures supportées sur X [?] et conjecture de Boyland Le but de ce paragraphe est de

. =-x-erg,

G. Atkinson, Recurrence of co-cycles and random walks, Journal of the London Mathematical Society, vol.13, issue.2, pp.486-488, 1976.

S. Addas-zanata, Uniform bounds for diffeomorphisms of the torus and a conjecture by P. Boyland, Journal of the London Mathematical Society, vol.91, pp.537-553, 2015.

S. Addas, -. Zanata, B. De, and P. Jacóia, A condition that implies full homotopical complexity of orbits, 2018.

R. Baer, Isotopie von kurven auf orientierbaren, geschlossenen Flächen und ihr zusammenhang mit der topologischen deformation der Flächen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol.159, pp.101-116, 1928.

F. Béguin, S. Crovisier, and F. Roux, Fixed point sets of isotopies on surfaces, Journal of the European Mathematical Society, 2018.

P. Boyland, A. De-carvalho, and T. Hall, New rotation sets in a family of torus homeomorphisms, Inventiones mathematicae, vol.204, issue.3, pp.895-937, 2016.

A. Casson and S. Bleiler, Automorphisms of Surfaces after Nielsen and Thurston. Number 9, 1988.

A. Candel and L. Conlon, Foliations I, 1999.

P. Dávalos, On annular maps of the torus and sublinear diffusion, Journal of the Institute of Mathematics of Jussieu, pp.1-66, 2016.

A. Denjoy, Sur les courbes définies par les équations différentielles à la surface du tore, Journal de Mathématiques pures et appliquées, vol.11, pp.333-375, 1932.

D. Epstein, Curves on 2-manifolds and isotopies, Acta Mathematica, vol.115, pp.83-107, 1966.

J. Franks and M. Misiurewicz, Rotation sets of toral flows, Proceedings of the, vol.109, pp.243-249, 1990.

J. Franks, Recurrence and fixed points of surface homeomorphisms, Ergodic Theory of Dynamical Systems, vol.8, issue.8*, pp.99-107, 1988.

J. Franks, Realizing rotation vectors for torus homeomorphisms. Transactions of the, vol.311, pp.107-115, 1989.

N. Guelman, A. Koropecki, and F. Tal, A characterization of annularity for area-preserving toral homeomorphisms, Mathematische Zeitschrift, vol.276, issue.3-4, pp.673-689, 2014.

A. Haefliger, Structure feuilletées et cohomologie à valeur dans un faisceau de groupoïdes. Commentarii Mathematici Helvetici, vol.32, pp.248-329, 1958.

M. Hamstrom, Homotopy groups of the space of homeomorphisms on a 2-manifold, Illinois Journal of Mathematics, vol.10, issue.4, pp.563-573, 1966.

E. Hayakawa, A sufficient condition for the existence of periodic points of homeomorphisms on surfaces, Tokyo Journal of Mathematics, vol.18, issue.1, pp.213-219, 1995.

A. Haefliger and G. Reeb, Variétés (non séparées) à une dimension et structures feuilletées du plan. L'enseignement mathématique, vol.III, pp.107-125, 1957.

T. Jäger, The concept of bounded mean motion for toral homeomorphisms, Dynamical Systems, vol.24, issue.3, pp.277-297, 2009.

T. Jäger, Linearization of conservative toral homeomorphisms, Inventiones mathematicae, vol.176, issue.3, pp.601-616, 2009.

O. Jaulent, Existence d'un feuilletage positivement transverse à un homéomorphisme de surface, Annales de l'Institut Fourier, vol.64, issue.4, pp.1441-1476, 2014.

B. Jiang, Lectures on Nielsen fixed point theory, Contemporary Mathematics, vol.14, 1983.

A. Katok, Invariant measures of flows on oriented surfaces, Soviet Mathematics Doklady, vol.14, pp.1104-1108, 1973.

A. Katok and B. Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, 1996.

A. Kocsard, On the dynamics of minimal homeomorphisms of T 2 which are not pseudo-rotations, 2016.

A. Koropecki, A. Passeggi, and M. Sambarino, The franks-misiurewicz conjecture for extensions of irrational rotations, 2016.

A. Koropecki, A. Fábio, and . Tal, Bounded and unbounded behavior for area-preserving rational pseudo-rotations, Proceedings of the London Mathematical Society, vol.109, issue.3, pp.785-822, 2014.

J. Kwapisz, Every convex polygon with rational vertices is a rotation set, Ergodic Theory and Dynamical Systems, vol.12, issue.2, pp.333-339, 1992.

J. Kwapisz, A toral diffeomorphism with a nonpolygonal rotation set, Nonlinearity, vol.8, issue.4, pp.461-476, 1995.

P. L. Calvez, Une version feuilletée équivariante du théorème de translation de Brouwer, Commentarii Mathematici Helvetici, vol.79, pp.229-259, 2004.

P. Le-calvez and F. Tal, Topological horsehoes for surface homeomorphisms

P. Le-calvez and F. Tal, Forcing theory for transverses trajectories of surface homeomorphisms, Inventiones Mathematicae, vol.212, issue.2, pp.619-729, 2018.

J. Llibre and R. S. Mackay, Rotation vectors and entropy for homeomorphisms of the torus isotopic to the identity. Ergodic Theory and Dynamical Systems, vol.11, pp.115-128, 1991.

S. Matsumoto, Rotation sets of surface homeomorphisms. Boletim da Sociedade Brasileira de Matemática, vol.28, pp.89-101, 1997.

M. Misiurewicz and K. Ziemian, Rotation sets for maps of tori, Journal of the London Mathematical Society, vol.40, issue.3, pp.490-506, 1989.

H. Poincaré, Mémoire sur les courbes définies par une équation différentielle, chapitre xv, Journal de mathématiques pures et appliquées, vol.4, pp.167-244, 1885.

M. Pollicott, Rotation sets for homeomorphisms and homology, Transactions of the American Mathematical Society, vol.331, pp.881-894, 1992.

A. Passeggi and M. Sambarino, Deviations in the Franks-Misiurewicz conjecture, 2018.

, Sol Schwartzman. Asymptotic cycles. Annals of Mathematics, vol.68, pp.270-284, 1957.

O. Sharkovsky, Coexistence of the cycles of a continuous mapping of the line into itself, Ukrainian Mathematical Journal, vol.16, issue.1, pp.61-71, 1964.

W. P. Thurston, On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces, Bulletin of the American Mathematical Society, vol.19, issue.2, pp.417-431, 1988.