Le théorème de Fermat sur certains corps de nombres totalement réels
Résumé
Let K be a totally real number field. For all prime number p≥5, let us denote by Fp the Fermat curve of equation xp+yp+zp=0. Under the assumption that 2 is totally ramified in K, we establish some results about the set Fp(K) of points of Fp rational over K. We obtain a criterion so that the asymptotic Fermat’s last theorem is true over K, criterion related to the set of Hilbert modular cuspidal newforms over K, of parallel weight 2 and of level the prime ideal above 2. It is often simply testable numerically, particularly if the narrow class number of K is 1. Furthermore, using the modular method, we prove Fermat’s last theorem effectively, over some number fields whose degrees over Q are 3,4,5,6 and 8.
Soit K un corps de nombres totalement réel. Pour tout nombre premier p≥5, notons Fp la courbe de Fermat d’équation xp+yp+zp=0. Sous l’hypothèse que 2 est totalement ramifié dans K, on établit quelques résultats sur l’ensemble Fp(K) des points de Fp rationnels sur K. On obtient un critère pour que le théorème de Fermat asymptotique soit vrai sur K, critère relatif à l’ensemble des newforms modulaires paraboliques de Hilbert sur K, de poids parallèle 2 et de niveau l’idéal premier au-dessus de 2. Il peut souvent se tester simplement numériquement, notamment quand le nombre de classes restreint de K vaut 1. Par ailleurs, en utilisant la méthode modulaire, on démontre le théorème de Fermat de façon effective, sur certains corps de nombres dont les degrés sur Q sont 3,4,5,6 et 8.
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Mathématiques [math]
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