Nous associons un graphe multiplicatif au sens de Vershik et Kerov à chaque représentation de dimension finie d’une algèbre de Lie simple en considérant la décomposition de ses produits tensoriels successifs en représentations irréductibles. Pour chacune de ces représentations de dimension finie, il a été montré en [11] et [12] que le conditionnement d’un chemin de Littelmann aléatoire à rester dans la chambre de Weyl est décrit par les mesures centrales sur le graphe multiplicatif associé. En utilisant la K-théorie des C∗-algèbres correspondantes, Handelman a établi un homéomorphisme entre l’ensemble des mesures centrales sur un de ces graphes multiplicatifs et le polytope des poids de la représentation sous-jacente. Dans cet article, nous rendons explicite l’homéomorphisme d’Handelman en utilisant les modèles de chemins de Littelmann. On obtient en conséquence une paramétrisation du polytope des poids en termes de dérives de chemins de Littelmann aléatoires. La paramétrisation explicite donne une description complète des fonctions harmoniques et c-harmoniques pour les modèles de chemins de Littelmann décrivant les itérations de produits tensoriels d’une représentation irréductible.