Logarithmic decay for damped hypoelliptic wave and Schrödinger equations
Décroissance logarithmique pour des équations des ondes et de Schrödinger amorties
Résumé
We consider damped wave (resp. Schrödinger and plate) equations driven by a hypoelliptic “sum of squares” operator L on a compact manifold and a damping function b(x). We assume the Chow-Rashevski-Hörmander condition at rank k (at most k Lie brackets needed to span the tangent space) together with analyticity of M and the coefficients of L. We prove decay of the energy at rate $log(t)^{-1/k}$ (resp. $log(t)^{-2/k}$ ) for data in the domain of the generator of the associated group. We show that this decay is optimal on a family of Grushin-type operators. This result follows from a perturbative argument (of independent interest) showing, in a general abstract setting, that quantitative approximate observability/controllability results for wave-type equations imply a priori decay rates for associated damped wave, Schrödinger and plate equations. The adapted quantitative approximate observability/controllability theorem for hypoelliptic waves is obtained by the authors in [LL19, LL17].
On considère l'équation des ondes (resp. Schrödinger) avec un opérateur hypoelliptique "somme de carrés" L sur une variété compacte et un amortissement b(x). On suppose la condition de Chow-Rashevski-Hörmander au rang k (au plus k crochets de Lie sont nécessaires pour engendrer le plan tangent) ainsi que l'analyticité de M et les coefficients de L. Nous prouvons la décroissance à un taux $log(t)^{-1/k}$ (resp. $log(t)^{-2/k}$ ) pour des données dans le domaine du générateur du groupe associé. Nous prouvons que ce taux est optimal pour la famille des opérateurs de type Grushin. Le résultat est conséquence d'un argument perturbatif (intéressant par lui-même) montrant que, dans un cadre général abstrait, des résultats quantitatifs d'observabilité/contrôlabilité approchée pour les ondes impliquent un taux de décroissance a priori pour les équations amorties associées des ondes, de Schrödinger ou des plaques. Le théorème quantitatif d'observabilité/contrôlabilité approchée pour les ondes hypoelliptiques est obtenu par les auteurs dans [LL19, LL17].
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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