On Abel-Jacobi Maps of Lagrangian Families
Sur les applications d'Abel--Jacobi des familles lagrangiennes
Abstract
We study in this article the cohomological properties of Lagrangian families on projective hyper-Kähler manifolds. First, we give a criterion for the vanishing of Abel-Jacobi maps of Lagrangian families. Using this criterion, we show that under a natural condition, if the variation of Hodge structures on the degree 1 cohomology of the fibers of the Lagrangian family is maximal, its Abel-Jacobi map is trivial. We also construct Lagrangian families on generalized Kummer varieties whose Abel-Jacobi map is not trivial, showing that our criterion is optimal.
Dans cet article, nous étudions les propriétés cohomologiques des familles lagrangiennes sur les variétés projectives hyper-kählériennes. Tout d'abord, nous donnons un critère pour l'annulation des applications d'Abel-Jacobi des familles lagrangiennes. En utilisant ce critère, nous montrons que sous une condition naturelle, si la variation des structures de Hodge sur la cohomologie de degré 1 des fibres de la famille lagrangienne est maximale, alors son application d'Abel-Jacobi est triviale. Nous construisons également des familles lagrangiennes sur des variétés de Kummer généralisées dont l'application d'Abel-Jacobi n'est pas triviale, ce qui démontre que notre critère est optimal.
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